Những ví dụ Compact

Topo tổng quát

  • Không gian topo X {\displaystyle X} với X {\displaystyle X} hữu hạn là không gian compact, vì nó chỉ có hữu hạn tập mở. Tổng quát hơn, nếu topo τ {\displaystyle \tau } có hữu hạn phần tử thì X {\displaystyle X} là không gian compact (topo hiển nhiên là một ví dụ).
  • Không gian topo X {\displaystyle X} với tô pô phần bù hữu hạn là không gian compact.

Giải tích và Đại số

  • Khoảng đóng [ 0 , 1 ] {\displaystyle \left[0,1\right]} dưới topo Euclide là compact, điều này được suy ra từ định lý Heine - Borel. Khoảng mở ( 0 , 1 ) {\displaystyle \left(0,1\right)} thì không compact vì ta có họ phủ mở
{ ( 1 n , 1 ) } n ∈ N {\displaystyle \left\{\left({\dfrac {1}{n}},1\right)\right\}_{n\in \mathbb {N} }}

là phủ ( 0 , 1 ) {\displaystyle \left(0,1\right)} nhưng không trích ra được phủ con hữu hạn.

  • R {\displaystyle \mathbb {R} } với topo Euclide là không compact vì ta có họ phủ mở { ( − n , n ) } n ∈ N {\displaystyle \left\{\left(-n,n\right)\right\}_{n\in \mathbb {N} }} phủ R {\displaystyle \mathbb {R} } nhưng không trích ra được phủ con hữu hạn. Ta cũng có thể kết luận điều này vì R {\displaystyle \mathbb {R} } đồng phôi với ( 0 , 1 ) {\displaystyle \left(0,1\right)} với topo Euclide nhưng ( 0 , 1 ) {\displaystyle \left(0,1\right)} không compact, dẫn đến R {\displaystyle \mathbb {R} } không compact.
  • Tập Cantor là compact dưới topo Euclide.
  • Cho K {\displaystyle K} là tập hợp các hàm số f : [ 0 , 1 ] → [ 0 , 1 ] {\displaystyle f:\,\left[0,1\right]\rightarrow \left[0,1\right]} thỏa điều kiện Lipschitz: tồn tại C > 0 {\displaystyle C>0} sao cho ∀ f ∈ K {\displaystyle \forall f\in K} thì
| f ( x ) − f ( y ) | ≤ C | x − y | , ∀ x , y ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle \left|f\left(x\right)-f\left(y\right)\right|\leq C\left|x-y\right|,\quad \forall x,y\in \left[0,1\right]} .

Ta có K {\displaystyle K} là không gian metric với metric định bởi

d ( f , g ) = sup x ∈ [ 0 , 1 ] | f ( x ) − g ( x ) | {\displaystyle d\left(f,g\right)=\sup _{x\in \left[0,1\right]}\left|f\left(x\right)-g\left(x\right)\right|}

là không gian compact. Điều này được suy ra từ định lý Arzela-Ascoli.